FEATURED FEATURED Health NEWS TECH

Chaos eliminates the need for the Multiverse

 image

Scientists explore the universe and see an amazing structure. It contains fantastically complex objects and processes. Every event in the universe follows the exact laws of nature, ideally expressed in the language of mathematics. These laws seem to us precisely adjusted so that life can appear, and, in particular, an intelligent life. What are these laws of nature and how do we find them?

The universe is so well structured and ordered that we compare it with the most complex and accurate inventions of our time. In the XVIII and XIX centuries, the universe was compared to a perfectly working clock. The philosophers then discussed the Watchmaker. In the XX and XXI century the most complex object is a computer. The universe is compared to an ideally working supercomputer. Researchers wonder: how this computer was programmed?

How can you explain this whole structure? Why do laws seem to be perfectly tuned to the emergence of life, and why are they expressed in such precise mathematical language? Is the universe really so structured as it seems?

 image

One of the answers to these questions is Platonism (or its cousin, realism). It is the belief that the laws of nature are objective and have always existed. They have the exact and ideal form that exists in the world of Plato. These laws work perfectly, and they have shaped the universe that we observe. They not only exist in this world, but also live next to perfect mathematics. This should help explain why laws are written in the language of mathematics.

Platonism leaves much to be desired, and many. The main problem of Platonism is metaphysics, not science. But even if we accept it, there will still be a lot of questions. Why is there in the Platonic world laws that generate intelligent life in the universe, and not some other? How did this platonic loft ever appear? Why does the physical universe follow ephemeral rules? How can scientists and mathematicians gain access to the treasure chest of Plato in the form of exact ideals?

The multiverse is another answer, which has become very fashionable lately. This theory is an attempt to explain why in our universe there are laws that give life. Believes in Multiverse argues that our universe is just one of many. Each universe has its own set of rules and its possible structures, corresponding to them. Physicists who promote the theory of the multiverse believe that laws in each universe are formed randomly. In our Universe we see structures suitable for life because we were lucky to live in one of the few universes in which there are such laws. And although the Multiverse explains some of the structures we see, some issues remain open. Instead of asking why the universe has such structures, we can ask why the Multiverse has such structures. Another problem: if the Multiverse will answer some of our questions, then who said that it exists? Since most believe that there is no connection with other universes, the question of the existence of the Multiverse remains in the field of metaphysics.

There is one more, more interesting, explanation of the structure of the laws of nature. Instead of saying that the Universe is very structured, say that the Universe is chaotic, and for the most part there is no structure in it. And the reason we see structures is that scientists work like a sieve; They focus only on those phenomena that have a structure and which can be predicted. They do not consider all phenomena. Instead, they choose only those with whom they can manage.

Some people will say that science is studying all physical phenomena. This is not true. Who will win the next US presidential election and move to the White House is a physical matter, but no scientist will seek an exact answer to it. Stop the computer work or not with certain input data – the question seems to be physical, and yet from Alan Turing we learn that we can not answer it. The scientists gave a classification of the general textures and heights of different types of clouds, but on the whole they are not at all interested in the exact form of the cloud. Although its form is a physical phenomenon, scientists do not even try to study it. Science does not study all phenomena. Science is studying predictable physical phenomena. This is almost a tautology: science predicts predictable phenomena.

Scientists have described a criterion for phenomena that they decided to study: it is called symmetry. Symmetry is a property according to which, despite the change of something, there remains some unchanging part. When we say that a person has a symmetry, we mean that if you mirror the left part and replace it with the right one, it will look the same. When physicists use the word "symmetry", they discuss sets of physical phenomena. A set of phenomena has a symmetry, if after some change it remains the same. The most obvious example is the symmetry of the location. This means that if you conduct the same experiment in two different places, the results should be the same. The time symmetry means that the results of the experiments should not depend on when the experiment was conducted. There are many other types of symmetry.

The phenomena chosen by scientists for research should be many different types of symmetry. When a physicist sees many phenomena, he first must determine whether they have a symmetry. He conducts experiments in different places and at different times. If he achieves the same results, he then studies them in search of the root cause. If the experiments turned out to be asymmetrical, he ignores them.

Although such scientists as Galileo and Newton saw the symmetry in physical phenomena, all the power of symmetry was first investigated by Albert Einstein. He stated that the laws of physics should remain the same even if the experimenter moves at a speed close to the speed of light. Mindful of this symmetry, he was able to create the laws of the special theory of relativity. Einstein was the first to understand that symmetry serves as a defining characteristic of physics. What is symmetry, it will have the law of nature. And the rest does not belong to science.

Soon after Einstein showed the vital importance of symmetry for science, Emmy Noether proved a powerful theorem that defined the connection between symmetry and conservation laws. It is associated with the constants of nature, the central part of modern physics. Again, in the presence of symmetry there will be both conservation laws and constants. The physicist should be a sieve, and study phenomena that have symmetry, allowing those phenomena that do not possess symmetry to slip through their fingers.

There are several problems with this explanation of the structures existing in the universe. For example, it seems that the phenomena chosen by us, possessing the laws of nature, generate all other phenomena. All the laws of particle physics, gravitation and quantum theory have symmetries, and they are all studied by physicists. It seems that all phenomena come from these theories, even those that do not have symmetry. So, although the definition of the next US president is not part of the science task, this phenomenon will be determined by sociology, which is defined by psychology, which is defined by neurobiology, which depends on chemistry, which depends on particle physics and quantum mechanics. Determining the winner of elections is too difficult for scientists, but the results of elections depend on the laws of physics that are part of science.

Despite the fact that we could not explain the structure of the laws of nature, we believe that this is the best candidate for a decision . This is one of those solutions that do not include any metaphysical principles or the existence of many invisible universes. We do not need to look outside the universe in search of the cause of the structure inside it. We need only look at how we view phenomena.

Before we continue, it is necessary to indicate that our solution has a property in common with the solution connected with the Multiverse. We postulated that for the most part the Universe is chaotic and there is no special structure in it. We just focus on a small number of existing structures. Similarly, one who believes in the Multiverse believes that most of it does not have the structure to form an intelligent life. Only in a small number of selected universes can you find complex structures. And we, the population of this complex Universe, focus on these rare structures. Both solutions consist of concentrating on a small amount of structure that is part of a huge chaotic whole.

The Hierarchy of Numerical Systems

The idea that we see a structure only because we choose a subset of phenomena is new and complex for perception. In mathematics, there is a similar situation, which is much easier to understand. We will concentrate on one important example in which the selection process is clearly visible. First we need to take a short tour of several numerical systems and their properties.

Let's consider real numbers. In one of the high school classes, the teacher draws a line of real numbers on the board and claims that it has all the numbers that you will ever need. If we take two real numbers, we can add, subtract, multiply and divide them. Of these is a numerical system used in all aspects of science. Real numbers have one important property: they are ordered. Of any two different real numbers one will be greater than the other. Imagine a numerical line: from two different points one will be to the right of the other. This property is so obvious that it is rarely spoken of. 19459003 19459002 19459009 Emmy Noether 19459009 19459003 19459002 Even though the real numbers seem to be a complete picture, the history On them does not end. Already in the XVI century mathematics began to search for more complex numerical systems. They began to work with an "imaginary" number i, whose property is such that its square is -1. This clearly contrasts with any real number, whose square is always positive. They defined an imaginary number as the product of a real number and i. Mathematicians have defined a complex number as the sum of the real and imaginary. If r 1 and r 2 are real numbers, then r 1 + r 2 i is a complex number. Since the complex number consists of two real numbers, we draw them on a two-dimensional plane. The line of real numbers is on the complex plane. This corresponds to the fact that each real number r 1 can be considered as a complex r 1 + 0i (the number itself plus the zero complex term).

We know how Add, subtract, multiply and divide complex numbers. However, they have one unusual property. Unlike real numbers, complex numbers are not ordered. Which of the two complex numbers, say 3 + 7.2i and 6 – 4i, is greater and which is less? There is no obvious answer. In principle, of course, complex numbers can be ordered, but this ordering will not correspond to their multiplication). The fact that complex numbers are not ordered means that we lose structure in going from real to complex numbers.

But history does not end with complex numbers. In the same way as from complex pairs it is possible to make complex numbers, from quarters of complex ones it is possible to make quaternions. Let c 1 = r 1 + r 2 i and c 2 = r 3 + r 4 i are complex numbers. Then we can define the quaternion as q = c 1 + c 2 j, where j is a singular number. It turns out that any quaternion can be written in the form

r 1 + r 2 i + r 3 j + r 4 k

where i, j and k are special numbers similar to the complex ones (ijk = -1 = i 2 = j 2 = k 2 ). So if complex numbers consist of two real numbers, then the quaternions consist of four real numbers. Each complex number r can be considered as a special type of quaternion: r . We can imagine quaternions as a four-dimensional space, whose two-dimensional subset is complex numbers. It is difficult for us, people, to visualize spaces of high order.

Quaternions are a full-fledged numerical system. They can easily be added, subtracted, multiplied and divided. Like complex numbers, they can not be ordered. And they have even less structure than complex numbers. If multiplication of complex numbers is commutative, that is, for any complex numbers c 1 and c 2 true c 1 c 2 = c 2 c 1 this is not true for all quaternions. This means that there are quaternions q 1 and q 2 such that q 1 q 2 is not equal to q 2 q 1 .

This process of doubling a numeric system using a new singular number is called the Cayley-Dickson procedure in honor of the mathematicians Arthur Cayley and Leonard Dixon. For a numerical system of a certain type, it is possible to construct another numerical system with a dimension twice that of the original one. The new system turns out to be worse structured (it has less axioms) than the original one.

Applying the Cayley-Dixon procedure to quaternions, we get a numeric system of octonions. This is an eight-dimensional numerical system. This means that each of the windows can be written in eight real numbers, as

r 1 + r 2 i + r 3 j + (19459010) 5 l + r 6 m + r 7 n + r 8 p

Although these actions are rather complicated, we know how to add, subtract, multiply and divide the octonions. Each quaternion can be written as a special type of octonion, in which the last four coefficients are zero.

Like quaternions, octonions are neither ordered nor commutative. However, the octonions are not associative. All previous numerical systems considered were associative. This means that for any three elements, a, b and c, two ways of multiplying them, a (bc) and (ab) c, are identical. However, for octonions this is not so. There are octonions o1, o2 and o3 such that o1 (o2o3) ≠ (o1o2) o3.

We can continue this doubling and get an even larger, 16-dimensional numeric system called sedenions. It will require 16 real numbers. Octonions are a special type of sedenion, in which the last eight coefficients are zero. But researchers shun the sedenions, because they have lost an important property. Although they can be added, subtracted and multiplied, there is no way to divide them. Most physicists believe that this is beyond the limits of "honest" mathematics. Even mathematicians find it difficult to manage them. It is possible to compile a 32-dimensional numerical system, and a 64-dimensional one, and so on. But they are usually not talked about, because so far they have very few applications. We will focus on the octonions. All the numerical systems can be summed up using this Venn diagram:

 image

Let's discuss the applicability of these numerical systems. Real numbers are used in all areas of physics. All quantities, measurements, lengths of physical objects or processes are given in the form of real numbers. Although complex numbers were formulated by mathematicians to help solve equations (i is a solution of the equation x 2 = -1), physicists began using complex numbers to discuss waves in the middle of the 19th century. In the twentieth century, complex numbers became the basis for the study of quantum mechanics. Now complex numbers play an important role in various areas of physics. Quaternions appear in physics, but do not play an important role. Octonions, sedenions and even larger numerical systems rarely appear in physical literature.

The laws of mathematics discovered by us

The usual approach to considering these numerical systems is that real numbers are fundamental, and complex numbers, quaternions and octonions are strange larger sets that help mathematicians and physicists do something. Larger numerical systems are considered something unimportant and uninteresting.

Let's turn this approach upside down. Instead of counting the real numbers as central, and the octonions as a strange larger numerical system, we will assume that the octonions are fundamental, and other numerical systems are simply subsets of octonions. The only existing numerical system is the octonions. To paraphrase Leopold Kronecker: "God created octonions, everything else is the work of man" [Кронекер говорил: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека» / прим. перев.]. The octonions contain all the numbers we need. (In this case, as it was shown earlier, we can do the same trick with sedenions and even with 64-dimensional numerical systems, but let's deliver our ideas with the help of octonions.)

Let's see how you can derive all the properties of a numeric System with which we are familiar. Хотя умножение октонионов не ассоциативно, если вам нужно ассоциативное умножение, можно взять особое подмножество октонионов (мы используем слово «подмножество», но нам необходим особый вид подмножества, пригодный для операций в числовой системе. Такие подмножества называются подгруппами, подполями или «поднормированными алгебрами с делением»). Так что, если выбрать подмножество всех октонионов вида

r1+ r2i + r3j + r4k + 0l + 0m + 0n + 0p

тогда умножение будет ассоциативным (как у кватернионов). Если пойти дальше и выбрать октонионы вида

r1+ r2i + 0j + 0k + 0l + 0m + 0n + 0p

тогда умножение будет коммутативным (как у комплексных чисел). Если и дальше выбрать подмножество октонионов вида

r1 + 0i + 0j + 0k + 0l + 0m + 0n + 0p

тогда из них получится упорядоченная числовая система. Все нужные аксиомы «сидят внутри» октонионов.

В этом нет ничего странного. Если у нас есть структура, мы можем сконцентрироваться на подмножестве особых элементов, удовлетворяющих определённым требованиям. Возьмём любую группу. Мы можем пройтись по всем её элементам и выбрать такие X, что для всех элементов Y будет верно XY = YX. Это подмножество – коммутативная (абелева) группа. В любой группе есть подмножество, составляющее коммутативную группу. Мы просто выбираем те части, что удовлетворяют аксиому, и игнорируем (выносим за скобки) те, что ей не удовлетворяют. Наша мысль состоит в том, что если у системы есть определённая структура, то особые подмножества системы будут удовлетворять большему количеству аксиом, чем изначальная система.

Это похоже на то, что мы делаем в физике. Мы не изучаем все явления. Мы выбираем те из них, что удовлетворяют требованиям симметрии и предсказуемости. В математике мы описываем подмножества при помощи аксиомы. В физике мы описываем выбранное подмножество явлений законом природы.

Математика для подмножества, выбранного так, чтобы удовлетворять аксиоме, проще, чем математика всего множества. Это оттого, что математики работают с аксиомами. Они доказывают теоремы и составляют модели при помощи аксиом. Когда таких аксиом нет, математика становится сложнее или вообще невозможной.

По аналогии, подмножество явлений проще объяснить законом природы, записанным языком математики. И наоборот, когда мы наблюдаем за более крупным множеством явлений, сложнее найти закон природы, и эта математика становится сложнее или вообще невозможной.

Работая в тандеме и продвигаясь вперёд

Между физикой и математикой есть важная аналогия. В обоих областях, если мы не изучаем систему в целом, но смотрим на особые подмножества, мы видим больше структуры. В физике мы берём определённое явление (обладающее симметрией), и игнорируем остальные. В математике мы рассматриваем определённые подмножества структур и игнорируем остальные. Две этих операции выноса за скобки работают сообща.

Задача физики – сформулировать функцию из набора наблюдаемых физических явлений, приводящую к математической структуре:

наблюдаемые физические явления → математическая структура

То есть, обозреваемому миру мы должны дать математическую структуру. По мере продвижения физики и того, как мы пытаемся понять всё больше наблюдаемых физических явлений, нам требуются всё большие классы математики. В понятиях этой функции, если мы хотим увеличить ввод функции, нам нужно увеличить и её вывод.

Существует множество примеров расширения физики и математики.

Когда физики начали работать с квантовой механикой, то поняли, что упорядоченные вещественные числа слишком сильно их ограничивают. Им потребовалась числовая система с меньшим количеством аксиом. Они обнаружили комплексные числа.

Когда Альберт Эйнштейн хотел описать ОТО, он понял, что математическая структура евклидова пространства с её аксиомой о плоскости (пятый постулат Евклида) была слишком ограничивающей. Ему нужно было искривлённое, неевклидово пространство, для описания пространства-времени в ОТО.

В квантовой механике известно, что в некоторых системах измерение сначала X, а затем Y, приведёт к результатам, отличным от полученных в случае, когда мы сначала измеряем Y, а затем X. Для математического описания этого необходимо выйти из уютного мира коммутативности. Им требуется более общий класс структур, не подразумевающих коммутативность.

Когда Больцман и Гиббс заговорили о статистической механике, они поняли, что получаемые ими законы уже не были детерминистскими. Результаты экспериментов уже не делились на произошло (p(X) = 1) или не произошло (p(X) = 0). Вместо этого к статистической механике требуется теория вероятностей. Шансы на определённый результат эксперимента – это вероятность, а p(X) — элемент бесконечного множества [0, 1]а не из ограниченного конечного множества {0, 1}.

Когда учёные заговорили о логике квантовых событий, они поняли, что обычная, дистрибутивная логика, слишком ограничивающая. Им необходимо было сформировать более общий класс логики, в котором аксиома дистрибутивности уже не обязательно выполнялась. Теперь это называется квантовой логикой.

Поль Дирак понял это ослабление аксиом ещё 85 лет назад, когда писал следующее:

Непрерывный прогресс физики требует для теоретических формулировок такой математики, которая постоянно продолжает усложняться. Это естественно и ожидаемо. А вот чего учёные прошлого века не ожидали, так это определённой формы, которую примет направление усложнения математики, а именно, ожидалось, что математика будет становиться всё более сложной, но будет основываться на постоянном базисе из аксиом и определений. На самом деле современное развитие физики требует математики, постоянно сдвигающей свои основы и становящейся более абстрактной. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, когда-то считавшиеся выдумкой и развлечением мыслителей, теперь оказываются необходимыми для описания общих фактов физического мира. Кажется вероятным, что этот процесс увеличения абстракции продолжится в будущем, и развитие физики будет связано с постоянным изменением и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не с логическим развитием любой из математических схем, находящихся на неподвижной основе [Dirac, P.A.M. Quantised singularities in the electromagnetic field. Proceedings of the Royal Society 133, 60-72, (1931).].

С развитием физики и открытием всё большего количества явлений, требуются всё более крупные классы математических структур со всё меньшим количеством аксиом с «увеличивающейся абстракцией» и «обобщением аксиом». Без сомнения, если бы Дирак был жив, он бы писал о приходе октонионов или даже седенионов в мир необходимых числовых систем.

Для описания большего количества явлений нам нужны всё большие классы математических структур и всё меньше аксиом. Каково же логическое заключение этой тенденции? Как далеко это может зайти? Физики хотят описывать всё больше явлений в нашей Вселенной. Допустим, что мы хотим описать все явления Вселенной. Какая математика нам для этого понадобится? Сколько аксиом будет нужно математической структуре, описывающей все явления? Конечно, это сложно предсказать, но ещё сложнее не порассуждать на эту тему. Одно из возможных заключений – если мы посмотрим на всю Вселенную разом, и не будем выносить за скобки никакие подмножества явлений, то нам нужна будет математика вообще без всяких аксиом. То есть, в целом Вселенная свободна от структуры и для её описания аксиомы не нужны. Полное беззаконие! Математика без структуры – это просто множества. Это может, наконец, устранить всю метафизику, связанную с законами природы и математическими структурами. Только тот способ, которым мы изучаем Вселенную, даёт нам иллюзию наличия структуры.

С таким взглядом на физику мы приходим к ещё более сложному вопросу. Таковы будущие проекты науки. Если видимая нами структура иллюзорна и происходит из нашего способа изучения определённых явлений, почему мы её видим? Вместо того, чтобы изучать законы природы, формулируемые учёными, нам нужно изучить учёных и то, как они выбирают законы природы, подмножества явлений и всё, что с ними связано. Какое свойство человека делает его таким хорошим ситом? Вместо того, чтобы изучать Вселенную, нам нужно изучить тот способ, каким мы её изучаем.

Нозон С. Яновский – доктор математики из аспирантуры Городского университета Нью-Йорка. Профессор информатики в Бруклинском колледже Городского университета Нью-Йорка. Кроме научных работ, он был соавтором книги «Квантовые вычисления для специалистов по информатике» и написал «Внешние пределы разумного: чего наука, математика и логика не могут нам сообщить».